Un Ejercicio realmente para pensar.
Reyneris Dijo: (Generalización)
Reyneris, el baracoense, destinó a sus hijas cierto número de ovejas y ordenó que el reparto se hiciese del siguiente modo: A la mayor le corresponde 1 oveja + una r-e´resima de las restantes; la segunda tomaría 2 ovejas + una -e´resima de las restantes; la tercera recibiría 3 ovejas y una r-e´resima de las que quedasen. Y así sucesivamente.
¿Cuál es la cantidad de ovejas?
¿Cuántas son las hijas de Reyneris?
Yosue Dijo:
Saludos…
Ha sido para mí un placer resolver este ejercicio, realmente me ha roto las neuronas, pero al final siento que valió la pena.
Le agradesco el conmite a la demostración.Me gustaría mucho poder escribirme con los colegas que participan.
Respuesta
si r= r-e´resima parte de lo que queda, n el número de ovejas, h el número de hijas y c la cantidad de ovejas que le da a cada hija.
Entonces
n=(r-1)^2
h=r
c=r
Variable independiente r, r>=2,
Nota:
En le caso de r=2,n=1,h=1,c=1
En le caso de r=3,n=4,h=2,c=2
Estos dos casos aunque son válidos, no los incluyo en la demostración porque las particularidades del ejercicio dicen que al menos son tres hermanas..
Mi Amigo Alvy para r=2 aclaró tiene más de esta solución.
Demostración.
Para r=4 me quedaría:
n=(4-1)^2=3^2=9
h=4-1=3
c=4-1=3
Resoviendo para n=9, r=4, Queda inicial =n=9
|
Nº de hijas |
DoyInicial |
Queda- Siendo n=9 |
Doy(Queda/r) siendo r=4 |
DoyTotal= DoyInicial+ Doy (Queda/r) |
Queda=Queda-DoyTotal |
|
1 |
1 |
9-1=8 |
8/4=2 |
1+2=3 |
9-3=6 |
|
2 |
2 |
6-2=4 |
4/4=1 |
2+1=3 |
6-3=3 |
|
3 |
3 |
0 |
Se cumple para r=4, el número de hijas es 3 y a cada hija le corresponden 3 ovejas.
Hipótesis:
Se cumple para r=x.
Para r=x me quedaría:
n=(x-1)^2=x^2-2x+1
h=(x-1)
c=(x-1)
Resoviendo para n= x^2-2x+1, r=x, Queda inicial = x^2-2x+1
|
Nº de hijas |
Doy Inicial |
Queda- Siendo n= x^2-2x+1 |
Doy (Queda/r) siendo r=x |
DoyTotal= DoyInicial+ Doy (Queda/r) |
Queda=Queda-DoyTotal |
|
1 |
1 |
= x^2-2x+1-1=x^2-2x |
=( x^2-2x)/x=x(x-2)/x=(x-2) |
=1+(x-2)=(x-1) |
=x^2-2x+1-(x-1)= x^2-2x+1-x+1= =x^2-3x+2 |
|
2 |
2 |
=x^2-3x+2-2= x^2-3x |
(x^2-3x)/x=x(x-3)/x=(x-3) |
=2+(x-3)=(x-1) |
= x^2-3x+2-(x-1)=x^2-3x+2-x+1= =x^2-4x+3 |
|
3 |
3 |
= x^2-4x+3-3=x^2-4x |
(x^2-4x)/x=x(x-4)/x=(x-4) |
=3+(x-4)=(x-1) |
= x^2-4x+3-(x-1)= x^2-4x+3-x+1= = x^2-5x+4 |
|
…. |
Tiene la forma x^2-(h+2)x+(h+1) Por tanto para h=(x-2) quedaría: =x^2-(x-2+2)x+(x-2+1)= =x^2-x^2+x-1= =x-1 |
||||
|
x-1
|
x-1 |
=x-1-(x-1)=x-1-x+1=0
|
=0 |
=x-1+0=(x-1) |
=x-1-(x-1)=x-1-x+1=0 |
Nota: Como se puede apreciar h llega hasta x-1
Solamente falta por demostrar que se cumple para r=x+1, por tanto h final sería h=x
Tésis:
Se cumple también para r=x+1.
Para r=x+1 me quedaría:
n=(x+1-1)^2=(x+1)^2-2(x+1)+1=x^2
h=(x)
c=(x)
Resoviendo para n= x^2, r=x+1, Queda inicial = x^2, pero por comodidad para la demostración lo tomaré de esta forma: (x+1)^2-2(x+1)+1
|
Nº de hijas |
Doy Inicial |
Queda- Siendo n= x^2 |
Doy (Queda/r) siendo r=x+1 |
DoyTotal= DoyInicial+ Doy (Queda/r) |
Queda=Queda-DoyTotal |
|
1 |
1 |
=x^2-1 |
=(x^2-1)/x=(x+1)(x-1)/(x+1)= =(x-1) |
=1+(x-1)=x |
=(x+1)^2-2(x+1)+1-x= Le sumamos y le restamos 3 y =(x+1)^2-2(x+1)+1-x-3+3= =(x+1)^2-2x-2+1-x-3+3= Agrupando convenientemente =(x+1)^2-2x-x-3-2+1+3= =(x+1)^2-3x-3+2= =(x+1)^2-3(x+1)+2 Vean que tiene la forma igual que en la tabla anterior |
|
2 |
2 |
=(x+1)^2-3(x+1)+2-2= =x^2-x-2 |
=( x^2-x-2)/(x+1)= =(x-2)(x+1)/(x+1)=(x-2) |
=2+(x-2)=x |
=(x+1)^2-3(x+1)+2-x= Le sumamos y le restamos 4 y =(x+1)^2-3(x+1)+2-x-4+4= =(x+1)^2-3x-3+2-x-4+4= Agrupando convenientemente =(x+1)^2-3x-x-4-3+2+4= =(x+1)^2-4x-4+3= =(x+1)^2-4(x+1)+3 Vean que tiene la forma igual que en la tabla anterior
|
|
3 |
3 |
=(x+1)^2-4(x+1)+3-3= =x^2-2x-3 |
=(x^2-2x-3)/(x+1)= =(x-3)(x+1)/(x+1)=(x-3) |
=3+(x-3)=x |
=(x+1)^2-4(x+1)+3-x= Le sumamos y le restamos 5 y =(x+1)^2-4(x+1)+3-x -5+5= =(x+1)^2-4x-4+3-x-5+5= Agrupando convenientemente =(x+1)^2-4x-x-5-4+3+5= =(x+1)^2-5x-5+4= =(x+1)^2-5(x+1)+4 Vean que tiene la forma igual que en la tabla anterior
|
|
…. |
Tiene la forma de la tabla anterior x^2-(h+2)x+(h+1)
|
||||
|
x-1
|
x-1 |
Para h=x-1, entonces: =x^2-((x-1)+2)x+((x-1)+1) |
|||
|
x |
x |
=x^2-((x-1)+2)x+((x-1)+1)-x= = x^2-(x-1+2)x+(x-1+1)-x= =x^2-(x+1)x+x-x+1-1= =0 |
=0 |
=x |
=x^2-((x-1)+2)x+((x-1)+1)-x= = x^2-(x-1+2)x+(x-1+1)-x= =x^2-(x+1)x+x+1-1= = x^2-x^2-x+x= =0 |
L.q.q.d
Por tanto es válida la afirmación que conociendo la r-ésima parte de lo que le queda y utilizando la forma de distribución del ejercicio, las fórmulas:
n=(r-1)^2
h=r-1
c=r-1
son válidas y satisfacen el ejercicio. Nota:Para r=2 hay más soluciones. Ver comentarios de Alvy.
Ejemplos:
| r=19 |
|
r=19 | |||||||
| n=(19-1)^2=324 | n=(19-1)^2=324 | ||||||||
| h=18 | h=18 | ||||||||
| r= | 19 | ||||||||
| 324 | 324 | ||||||||
| Hija | 1Reparto | Queda | Resto/19 | Queda final | Dado Total |
Hija 1Reparto Queda Resto/19 Queda final | |||
| 1 | 1 | 323 | 17 | 306 | 18 | 1 1 323 17 306 | |||
| 2 | 2 | 304 | 16 | 288 | 18 | 2 2 304 16 288 | |||
| 3 | 3 | 285 | 15 | 270 | 18 | 3 3 285 15 270 | |||
| 4 | 4 | 266 | 14 | 252 | 18 | 4 4 266 14 252 | |||
| 5 | 5 | 247 | 13 | 234 | 18 | 5 5 247 13 234 | |||
| 6 | 6 | 228 | 12 | 216 | 18 | 6 6 228 12 216 | |||
| 7 | 7 | 209 | 11 | 198 | 18 | 7 7 209 11 198 | |||
| 8 | 8 | 190 | 10 | 180 | 18 | 8 8 190 10 180 | |||
| 9 | 9 | 171 | 9 | 162 | 18 | 9 9 171 9 162 | |||
| 10 | 10 | 152 | 8 | 144 | 18 | 10 10 152 8 144 | |||
| 11 | 11 | 133 | 7 | 126 | 18 | 11 11 133 7 126 | |||
| 12 | 12 | 114 | 6 | 108 | 18 | 12 12 114 6 108 | |||
| 13 | 13 | 95 | 5 | 90 | 18 | 13 13 95 5 90 | |||
| 14 | 14 | 76 | 4 | 72 | 18 | 14 14 76 4 72 | |||
| 15 | 15 | 57 | 3 | 54 | 18 | 15 15 57 3 54 | |||
| 16 | 16 | 38 | 2 | 36 | 18 | 16 16 38 2 36 | |||
| 17 | 17 | 19 | 1 | 18 | 18 | 17 17 19 1 18 | |||
| 18 | 18 | 0 | 0 | 0 | 18 | 18 18 0 0 0 | |||
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